Aljebra lineala funtsezkoa da matematikako ia arlo guztietan. Ingeniaritza zientzietako esparru gehienetan ere erabiltzen da, hainbat fenomeno natural modelatzeko.[1][2][3]
Izan bitez eremu bat (zenbaki errealen, zenbaki osoen edo zenbaki arrunten multzoa izan ohi da, adibidez) eta eraztuna. Orduan, gorputza dela esaten da ondorengo propietateak betetzen badira:
ez bada tribiala, hau da, -k elementu bat baino gehiago badu.
identitateduna eta trukakorra bada.
multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira eragiketarekiko.
XIX. mendera arte, aljebra lineala sistema linealen ekuazioekin eta matrizeekin adierazi zen. Matematika modernoan, espazio bektorialen bidezko adierazpena hobesten da orokorrean; izan ere, mota horretako adierazpena sintetikoagoa, orokorragoa eta kontzeptualki adierazteko errazagoa da, nahiz eta abstraktuagoa izan.[4]
Izan bitez gorputza eta multzoa. Orduan -espazio bektoriala dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:
-n eragiketa bat definiturik badago, denotatzen dena, eta talde abeldarra bada.
Banatze-propietateak betetzen badira bi eragiketekiko: eta eta .
Biderketak propietate elkarkorra betetzen badu: eta .
Aplikazio linealak bektore-espazio egitura gordetzen duten espazio bektorialen arteko aplikazioak dira. Izan bitez eta bi -espazio bektorial, orduan aplikazio lineal bat izango da ondorengoa betetzen badu: eta . Horrek ondorengoa inplikatzen du: .
Aplikazio lineal baten nukleoa moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da: .
Aplikazio berdinaren irudia edo moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da: .
Aplikazio bat injektiboa izango da, baldin eta soilik baldin, bada, eta supraiektiboa da baldin eta .
Kontzeptu horiekin isomorfismoak definitu ditzakegu: aplikazio lineala isomorfismoa dela esaten da baldin eta bijektiboa bada, hau da, injektiboa eta supraiektiboa. deneko kasuan, isomorfismoari automorfismo deritzo.
-espazio bektorial baten azpiespazio lineala -ren azpimultzo bat da, deituko duguna, ondorengoa betetzen badu: eta , eta . ere -espazio bektoriala da.
-ren bi azpiespazioen batura honela definitzen da: . Batura hori zuzena dela esaten da bada, eta kasu horretan denotatuko litzateke.
Espazio bektorialak adierazteko, eta horiei buruzko informazioa barneratzeko, oinarriak ezinbestekoak dira. Oinarri bateko elementuekin espazio lineal baten elementu guztiak adieraz ditzakegu horien konbinazio linealen bidez, hau da, bektoreek espazio bektorialaren oinarria osatzen badute, edozein bektore moduan idatz daiteke, eskalarrak izanik. Baina azpiespazioaren oinarria izango da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen baditu:
-ren sistema sortzailea bada, hau da, -ko edozein bektore bektoreen konbinazio lineal moduan adieraz badaiteke. Kasu horretan multzoari deritzo, eta idazten da.
sistema askea bada, hau da, izateak direla inplikatzen du.
espazio bektorial baten sistema sortzailea ( denotatzen dena) finitua bada, orduan finituki sortua dela esaten da, eta -k sortzen duen oinarriaren kardinalari-ren dimentsioa deritzo.
Matrizeek dimentsio finituetako espazio bektorialak eta aplikazio linealak modu esplizituan manipulatzea ahalbidetzen dute. Gainera, aljebra linealean funtsezkoak dira. Matrizeak isomorfismo batean parte hartzen duten bi espazioen arteko oinarri batetik bestera pasatzeko erabiltzen dira gehien.
Izan bitez dimentsioko -espazio bektoriala eta -ren oinarri bat. Oinarriaren definizioagatik
aplikazioa espaziotik espaziorako bijekzio bat da. Isomorfismo horrekin bektore bat bere aurreirudiaren bidez adieraz dezakegu, hau da, koordenatuen bidez.
Orain, izan bitez dimentsioko -espazio bektoriala eta -ren oinarri bat, orduan ondorengo aplikazioa, , -ren oinarriko elementuen gainean ondo definiturik dago, hau da, non balioetarako. Beraz, matrizearekin adieraz dezakegu.
Matrizeen biderkadurak bi aplikazioren arteko konposizio matrizea ematen du.
Ekuazio linealetako sistema bat ekuazio eta ezezagunekin egindako sistema da. Matrizeak bezala, aljebra linealean funtsezkoak dira. Historikoki, aljebra lineala eta matrizeen teoria sistema ezberdinei soluzioak emateko garatuak izan dira. Gaur egungo aljebra linealean, problema ezberdinak espazio bektorialen eta matrizeen bitartez interpreta daitezke, ekuazio linealetako sistema bezala.[5][6][7][8][9]
Orokorrean ekuazio linealetako sistemak honela idazten dira:
non .
Ekuazio linealetako sistemak matrizialki adieraz daitezke, eta bezala denotatuko lirateke, non:
sistemaren matrizea den.
gai askeen matrizea den.
ezezagunen matrizea den.
sistemaren matrize hedatua den.
Izan bedi ekuazio linealetako sistema bat. matrizea sistemaren soluzioa dela esaten da baldin eta betetzen bada.
soluziorik ez badu sistema bateraezina deitzen da; eta beste kasuan bateragarria. Azkenengo kasuan:
Sistemak soluzio bakarra badu, bateragarri determinatua deitzen da.
Sistemak soluzio bat baino gehiago badu, bateragarri indeterminatua dela esaten dugu.
Lehenengo eta behin, har dezagun sistemaren matrizea:
eta gai askeen matrizea:
Deitu diezaiogun ezezagunen matrizea non den.
Orain, ezabaketa gaussiarra erabiliko dugu. Metodo hau errenkaden arteko eragiketetan oinarrituta dago, beraz, eragiketa hauek ez dute sistemaren soluzioa aldatzen.
Beraz, sistema honen soluzio bakarra da, hots, sistema hau sistema bateragarri determinatua da.