En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal,[1] el análisis matemático[2] y la teoría de probabilidades.[3]
La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888).
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Sea
un espacio vectorial complejo con producto escalar. Los vectores
, cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
![{\displaystyle |(u,v)|^{2}\leq (u,u)(v,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d209212f8dffd6e2c53771b8e625fb8f54391b)
Donde
es el producto escalar.
Demostración
Tomemos la combinación de vectores
, con
. El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.
![{\displaystyle (\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f2a6b03558c55ac2b1eb23d83bdb148ec7d939)
Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.
![{\displaystyle |\lambda |^{2}(u,u)-{\bar {\lambda ))\mu (u,v)-{\bar {\mu ))\lambda (v,u)+|\mu |^{2}(v,v)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba66179764c20cba5f9c9dbb935f3c6d8f0b7d8b)
Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares
y
. En particular, se cumple para
,
. Sustituyendo estos valores en la desigualdad:
![{\displaystyle |(u,v)|^{2}(u,u)-2|(u,v)|^{2}(u,u)+(u,u)^{2}(v,v)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2f1c4fa79170264310f5579235336fc43ce3a0)
Y finalmente:
![{\displaystyle (u,u)(v,v)\geq |(u,v)|^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffd0d4ed3f0f2d0a5251771d772e9493f006771)
Q.E.D
La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.
Caso Particular: Desigualdad en un espacio vectorial
sobre
Sean
y
números reales cualesquiera.
Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz
Además la igualdad se verifica si y sólo si existe un número real tal que para cada
|
Demostración
Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos lo siguiente:
para todo número real
; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma (
, para todo k) es igual a cero.
Esta desigualdad puede escribirse en la forma:
donde:
La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0. Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:
Por lo tanto:
, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma:
donde
son dos vectores n-dimensionales,
es su producto escalar y
es la norma de a.
Curiosidades
- La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.
- La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
- La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
- La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
- La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.