En la naturo kaj teĥniko okazas multegaj periodajprocezoj. Ekzemplo: muzikatono, osciladoj en radioteĥniko, televido, elektroniko. Tiujn gravajn periodajn procezojn la homaro konas ekde jarmiloj kaj bezonas matematikan ilon por priskribi ilin. Jam en 18a jarcento la matematikistoj konis tian matematikan prezenton de kelkaj periodaj funkcioj kiel malkompono en trigonometria vico. La franca matematikisto Joseph Fourier malkovris en 19a jarcento kaj publikis en sia verko Théorie analytique de la chaleur, ke periodaj funkcioj estas prezenteblaj kiel trigonometriaj vicoj. Fourier ankaŭ proponis elegantan manieron de komputado de vico por periodaj funkcioj. Poste kelkaj matematikistoj dum 19a jarcento (ekz. Dirichlet) precizigis la matematikajn kondiĉojn, kiam la funkcio estas prezentebla kiel vico de Fourier. Lennart Carleson en 20a jarcento pruvis, ke la teorio de Fourier estas ĝusta por popece kontinuaj funkcioj, se la nocion de konvergenco iom malfortigi. Cetere tiu klaso de funkcioj enhavas praktike ĉiujn funkciojn okazantaj en naturo kaj teĥniko. Tial la vicoj de Fourier havas grandegan praktikan valoron.
La angula rapido skalas ĉi tie la periodon de sinuso kaj kosinuso sur rilata periodo . Ĉe praktika uzo oni interrompas la vicon post fina kvanto de membroj. Oni obtenas tiam nur proksimigon de en formo de trigonometriapolinomo:
Tiun ĉi finan sumon oni nomigas Parta sumo de la vico de Fourier.
Grava propreco de tiu ĉi parta sumo: tiu trigonometria polinomo havas inter ĉiuj trigonometriaj polinomoj de sama strukturo minimuman mezkvadratan malprecizecon rilate al origina funkcio .
La koeficientoj de la malkompono de estas:
La delokigo de la intervalo servas por simpligo kaj povas esti elektita iu ajna.
estas konstanta parto.
Simplaj proprecoj de malkompono:
por ĉiuj , se estas para, ,
por ĉiuj , se estas malpara, .
Se la origina funkcio estas nekonata aŭ estas disponeblaj nur certaj ciferecaj datoj (ekzemple datoj de mezuro), oni alproksimigas , nur el apogaj punktoj (Trigonometria interpolado).
Amplituda-faza prezento
En la supra prezento la signalo konsistas el sinusa kaj kosinusa spektro. Sed ekzistas ankaŭ prezento per fazo kaj Amplitudo, ĉar oni povas prezenti la sumon de sinuso kaj kosinuso kiel kosinusa oscilado kun delokiga fazo:
La konverĝeco havas pli teorian rolon ol praktikan, ĉar la vicoj de Fourier de funkcioj okazantaj en teĥniko, kutime konverĝas bone. Oni nomas serio de Fourier finian sumon de la elementoj de vico de Fourier, kiu konverĝas.
Teoremo de Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet pruvis, ke la vico de Fourier de diferencialebla perioda funkcio, popunkte konverĝas al funkcio origina.
Ĉe kondiĉo, ke eĉ estas kontinue diferencialebla, la teoremo plifortiĝas.
Se estas kontinue diferencialebla funkcio kun periodo , tiam la vico de Fourier de konvergas egalmezure al .
Teoremo de Carleson
La teoremo de Carleson estas profunda rezulto pri konverĝeco de Fourier-vicoj.
Se kvadrate integrebla funkcio, tiam la vico de Fourier konverĝas preskaŭ ĉie.
Teoremo de Fejér
Leopold Fejér pruvis, ke la aritmetika meznombro de partaj sumoj de Fourier-vico de kontinua, -perioda funkcio konverĝas egalmezure al la funkcio.
Ekzemploj
Triangulaj impulsoj
Diversaj alproksimigoj de triangulaj impulsoj
La triangula funkcio alproksimiĝas per sinusoj aŭ kosinusoj ĉe tauga fazo. Se la triangulo ne estas en tiuj ĉi du fazoj, la malkomponaĵo enhavas ambaŭ - sinusojn kaj kosinusojn. La amplitudon de la kurbo oni kalkulas per la formulo
Kiel la triangulajn impulsojn, ankaŭ la rektangulajn oni prezentas per senfina vico. Oni ofte uzas rektangulajn impulsojn en elektroniko por testi elektronikajn cirkvitojn por frekvenca konduto.
Akustiko kaj muziko
En akustiko pli taŭgas la amplituda-faza prezento de sono. Pli ekzakte, nur amplituda prezento ĉar homo ne distingas sonojn kun samaj amplitudoj kaj diversaj fazoj. Kontraŭe, eĉ malgrandajn ŝanĝojn de amplitudoj homo aŭdas kiel ŝanĝon de sonkoloro. Sekve la sonkoloron difinas nur la amplituda spektro. Ĉiun kutiman (ne elektronikan) muzikilon karakterizas propra sonkoloro. La plimulto de elektronikaj muzikiloj kapablas krei tonojn kun diversaj sonkoloroj imitante diversajn tradiciajn muzikilojn.
Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Изд-во Ленингр. ун-та Л.,1983, стр.188. Zxuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriaj vicoj de Fourier kaj elementoj de teorio de alproksimado. Eldono de Leningrada universitato, Leningrado, 1983, 188 ppaĝoj (en la rusa).
Konrad Königsberger. Analysis 1. Eldonejo Springer, Berlino, 2004, ISBN 3-540-41282-4 ĉapitro 16. (en la germana)