Algebraj strukturoj
Grupo-similaj Grupo-teorio Duvalenta operacio A Asocieco • N Neŭtrala elemento • I Inversa elemento • K Komuteco Abela grupo (ANIK) • Grupo (ANI) • Monoido (AN) • Duongrupo (A) • Magmo Kvazaŭgrupo • Lopo • Lie-grupo • Cikla grupo • Simetria grupo Grupa homomorfio • Normala subgrupo
Ringo-similaj Ringo-teorio Distribueco Ringo • Komuta ringo • Integreca ringo • Korpo • Kampo Ringa homomorfio • Nuldivizoro • Idealo
Modulo-similaj Lineara algebro Modulo • Vektora spaco Lineara transformo • Bazo • Dimensio
v • d • r

En ringo-teorio, branĉo de abstrakta algebro, komuta ringo estas ringo, kies multiplika operacio obeas la komutan leĝon. Ĉi tio signifas ke se a kaj b estas iuj ajn elementoj de la ringo, tiam a×b=b×a.

La studado de komutaj ringoj estas nomata komuta algebro.

Envicigo

komutaj ringoj ⊃ integrecaj ringoj ⊃ integrece fermitaj ringoj ⊃ faktorecaj ringoj ⊃ ĉefidealaj integrecaj ringoj ⊃ eŭklidaj ringoj ⊃ kampoj

Ekzemploj

• La plej grava ekzemplo estas la ringo de entjeroj kun la du operacioj, adicio kaj multipliko. Ordinara multipliko de entjeroj estas komuta. Ĉi tiu ringo estas kutime signita kiel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de la germana vorto Zahlen (nombroj).
• La racionalaj nombroj, reelaj nombroj kaj kompleksaj nombroj formas komutajn ringojn; fakte, ili estas eĉ kampoj.
• Pli ĝenerale, ĉiu kampo estas komuta ringo, do la klaso de kampoj estas subklaso de la klaso de komutaj ringoj.
• La plej facila ekzemplo de ne-komuta ringo estas la aro de ĉiu kvadrataj 2*2 matricoj kies elementoj estas reelaj nombroj. La matrica multipliko

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix))\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix))}$

estas ne egala al la multipliko en la kontraŭa ordo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix))\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix)).}$

• Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n))$ de entjeroj module je n formas komutan ringon kun n elementoj (vidu modula aritmetiko).
• Se R estas donita komuta ringo, tiam la aro de ĉiuj polinomoj kun variablo X kies koeficientoj estas de R formas novan komutan ringon, signitan R[X].
• Simile, la aro de formalaj potencoserioj R(X₁,...,X_n) super komuta ringo R estas komuta ringo. Se R estas kampo la ringo de formalaj potencoserioj estas speciala speco de komuta ringo, nomata loka ringo.