Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge ab und wird in der Regel wie folgt definiert:
Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.
Anwendungsabhängig, beispielsweise in der Rechentechnik, verwendet man alternative Definitionen für 0. Diese wird dann den positiven (), negativen (), beiden Zahlenbereichen entweder wahlweise (, ), oder gleichzeitig (), oder undefiniert ()[1][2] zugeordnet. Da die Null eine Nullmenge unter dem Lebesgue-Maß ist, ist dies für praktische Anwendungen oft nicht von Bedeutung. Unabhängig von der Definition der Vorzeichenfunktion (die variiert), wird in der Gleitkommadarstellung üblicherweise dem Vorzeichen ein Bit zugewiesen.
Für den Fall, dass gesetzt wird, besteht folgender Zusammenhang zur Heaviside-Funktion:
Aus den beiden letztgenannten Rechenregeln folgt beispielsweise, dass sich die in einem aus beliebig vielen Faktoren zusammengesetzten Argument der Signumfunktion ein Faktor durch ersetzen lässt, ohne den Funktionswert zu ändern:
für beliebige .
Ableitung und Integral
Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.
Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit . Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist , wobei die Delta-Distribution bezeichnet.
↑Eugene D. Denman, Alex N. Beavers: The matrix sign function and computations in systems. In: Applied Mathematics and Computation. Band2, Nr.1. Elsevier, Januar 1976, ISSN0096-3003, S.63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5.
↑Charles S. Kenney, Alan J. Laub: The matrix sign function. In: IEEE Transactions on Automatic Control. Band40, Nr.8. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), August 1995, S.1330–1348, doi:10.1109/9.402226.