In der Mathematik heißt eine Gruppe G teilbar oder dividierbar, falls man jedes Gruppenelement durch jede natürliche Zahl teilen kann. Gemeint ist damit: Zu jedem Gruppenelement und zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein Gruppenelement , so dass
gilt. Hierbei wurde die Gruppenverknüpfung mit einem Stern geschrieben.
Wird (wie bei abelschen Gruppen üblich) die Verknüpfung in der Gruppe als Addition geschrieben, so bedeutet die definierende Bedingung: Zu jedem und zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein mit
Jedes Gruppenelement ist also durch teilbar.
Schreibt man die Verknüpfung wie bei allgemeinen Gruppen üblich als Multiplikation, so bedeutet die Bedingung: Zu jedem und zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein mit
Es existiert also eine -te Wurzel aus .
Hintergrund ist die naheliegende Frage: Wann ist eine Zahl durch eine natürliche Zahl teilbar oder dividierbar? Dies wird auf Gruppen verallgemeinert. Schon Euklid beschrieb das Problem: Für welche Zahlen ist die Gleichung lösbar. Welche Zahlen sind Vielfache einer gegebenen natürlichen Zahl.[1]
Ein auf den ersten Blick anderes Thema behandelt Euklid im 10. Buch und beweist: Es gibt keinen Bruch, welcher die Gleichung löst. Für welche Zahlen ist die Gleichung
lösbar? Drückt man diese beiden Fragen mit Hilfe von Abbildungen aus, so leuchtet der gemeinsame Hintergrund auf.
Diese Beobachtung legt es nahe, von den ganzen Zahlen und den Brüchen zu abstrahieren.
Für eine Gruppe und eine natürliche Zahl sind folgende Aussagen äquivalent:
Trifft eine der Aussagen und damit beide auf die Gruppe zu, so heißt die Gruppe durch teilbar. Die Gruppe heißt teilbar, wenn sie durch jede natürliche Zahl teilbar ist. In der englischen Literatur nennt man solche Gruppen divisible. Manchmal nennt man eine solche Gruppe auch dividierbar. Ist die Gruppe additiv geschrieben, so lautet die Bedingung 1.: .
Für eine abelsche Gruppe sind die folgenden Aussagen äquivalent.
Die Eigenschaft 2 oder 3 besagen, dass in der Kategorie der abelschen Gruppen ein injektives Objekt ist. Die Äquivalenz von 2. und 3. ist das Baersche Kriterium (nach Reinhold Baer).
Direkte Produkte von teilbaren – also injektiven – abelschen Gruppen sind teilbar. Dies gilt in jeder Modulkategorie. Die direkte Summe teilbarer Gruppen ist teilbar. Im Allgemeinen ist die direkte Summe von injektiven Moduln nicht injektiv. Das epimorphe Bild einer teilbaren Gruppe ist teilbar. Also ist mit auch teilbar. Dies ist eine besonders wichtige teilbare abelsche Gruppe.
ist eine Untergruppe der abelschen Gruppe . Jede abelsche Gruppe kann monomorph in eine teilbare abelsche Gruppe eingebettet werden.[2] In der Kategorie der abelschen Gruppen gibt es genügend viele injektive. Daraus ergibt sich:
Für eine abelsche Gruppe sind folgende Aussagen äquivalent:
Insbesondere ist eine teilbare Gruppe in jeder Obergruppe direkter Summand.
ist in besonderer Weise in der injektiven Gruppe enthalten. Ist ein Monomorphismus in eine beliebige teilbare Gruppe, so gibt es ein . Es ist und daher . Daher ist ein Monomorphismus. ist also bis auf Isomorphie in jeder teilbaren Gruppe enthalten, welche enthält. ist die injektive Hülle von . Die gibt es zu jeder abelschen Gruppe G. Um dies zu klären wird die große Untergruppe definiert.
Eine Untergruppe heißt groß in G, wenn die einzige Untergruppe von G ist, welche mit U den Schnitt hat. Damit sind die folgenden Aussagen äquivalent:
Ein Monomorphismus heißt wesentlich, wenn groß in H ist.
Es gilt der folgende Satz:
Zu jeder abelschen Gruppe G gibt es eine teilbare Gruppe D und einen wesentlichen Monomorphismus . Dieses D ist bis auf Isomorphie eindeutig. Es heißt injektive Hülle von G und wird manchmal mit bezeichnet.
Diese Aussage gilt in allen Modulkategorien. Jeder Modul über einem unitären Ring hat eine injektive Hülle. ist die injektive Hülle von . Die Prüfergruppe zur Primzahl p ist injektive Hülle jeder Gruppe der Art .
Jede teilbare abelsche Gruppe ist isomorph zu einer (möglicherweise unendlichen) direkten Summe von -Vektorräumen und Prüfergruppen.
Eine besondere abelsche Gruppe ist . Sie ist ein starker Helfer beim Aufbau der Theorie abelscher Gruppen.