In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz (auch Tangentensatz und Regel von Napier ) eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.
Für die drei Seiten a , b und c eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel α, β und γ gilt:
b
+
c
b
−
c
=
tan
β
+
γ
2
tan
β
−
γ
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c))={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2))}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2))))}
Wegen
tan
β
+
γ
2
=
tan
180
∘
−
α
2
=
tan
(
90
∘
−
α
2
)
=
cot
α
2
{\displaystyle \tan {\frac {\beta +\gamma }{2))=\tan {\frac {180^{\circ }-\alpha }{2))=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2))\right)=\cot {\frac {\alpha }{2))}
kann man diese Formel auch schreiben als
b
+
c
b
−
c
=
cot
α
2
tan
β
−
γ
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c))={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2))}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2))))}
Analoge Formeln für
a
+
b
a
−
b
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b))}
und
a
+
c
a
−
c
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c))}
erhält man durch zyklische Vertauschung :
a
+
b
a
−
b
=
tan
α
+
β
2
tan
α
−
β
2
=
cot
γ
2
tan
α
−
β
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b))={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2))}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2))))={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2))}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2))))}
c
+
a
c
−
a
=
tan
γ
+
α
2
tan
γ
−
α
2
=
cot
β
2
tan
γ
−
α
2
{\displaystyle {\frac {c+a}{c-a))={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2))}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2))))={\frac {\cot {\frac {\beta }{2))}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2))))}
Wegen
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}
bleiben diese Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:
a
+
c
a
−
c
=
tan
α
+
γ
2
tan
α
−
γ
2
=
cot
β
2
tan
α
−
γ
2
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c))={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2))}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2))))={\frac {\cot {\frac {\beta }{2))}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2))))}
Nach dem Sinussatz gilt
b
c
=
sin
β
sin
γ
{\displaystyle {\tfrac {b}{c))={\tfrac {\sin \beta }{\sin \gamma ))}
und damit folgt:
b
+
c
b
−
c
=
b
c
+
1
b
c
−
1
=
sin
β
sin
γ
+
sin
γ
sin
γ
sin
β
sin
γ
−
sin
γ
sin
γ
=
sin
β
+
sin
γ
sin
β
−
sin
γ
,
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c))={\frac ((\frac {b}{c))+1}((\frac {b}{c))-1))={\frac ((\frac {\sin \beta }{\sin \gamma ))+{\frac {\sin \gamma }{\sin \gamma ))}((\frac {\sin \beta }{\sin \gamma ))-{\frac {\sin \gamma }{\sin \gamma ))))={\frac {\sin \beta +\sin \gamma }{\sin \beta -\sin \gamma )),}
nach Einsetzen der Identitäten
sin
β
+
sin
γ
=
2
sin
β
+
γ
2
cos
β
−
γ
2
.
{\displaystyle \sin \beta +\sin \gamma =2\sin {\frac {\beta +\gamma }{2))\cos {\frac {\beta -\gamma }{2)).}
sowie
sin
β
−
sin
γ
=
2
cos
β
+
γ
2
sin
β
−
γ
2
{\displaystyle \sin \beta -\sin \gamma =2\cos {\frac {\beta +\gamma }{2))\sin {\frac {\beta -\gamma }{2))}
,die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen, ergibt sich per Division die gewünschte Formel.
Mit Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel :
tan
β
+
γ
2
=
tan
180
∘
−
α
2
=
tan
(
90
∘
−
α
2
)
=
cot
α
2
{\displaystyle \tan {\frac {\beta +\gamma }{2))=\tan {\frac {180^{\circ }-\alpha }{2))=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2))\right)=\cot {\frac {\alpha }{2))\qquad }
(1)Aus den Mollweideschen Formeln folgt mit (1):
b
+
c
b
−
c
=
b
+
c
a
⋅
a
b
−
c
=
cos
β
−
γ
2
sin
α
2
⋅
cos
α
2
sin
β
−
γ
2
=
cot
β
−
γ
2
⋅
cot
α
2
=
cot
α
2
tan
β
−
γ
2
=
tan
β
+
γ
2
tan
β
−
γ
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c))={\frac {b+c}{a))\cdot {\frac {a}{b-c))={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2))}{\sin {\frac {\alpha }{2))))\cdot {\frac {\cos {\frac {\alpha }{2))}{\sin {\frac {\beta -\gamma }{2))))=\cot {\frac {\beta -\gamma }{2))\cdot \cot {\frac {\alpha }{2))={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2))}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2))))={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2))}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2))))\quad }
q. e. d.