Einfach-logarithmischer Graph der Lösungen der Gleichung x3 + y3 + z3 = n mit ganzzahligen x , y und z , und n aus [0, 100]. Grüne Balken bedeuten, dass es für diese n nachweislich keine Lösungen gibt.Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
haben, damit sie als Summe dreier Kubikzahlen
x
3
,
y
3
{\displaystyle x^{3},\ y^{3))
und
z
3
{\displaystyle z^{3))
mit ganzzahligen Basen
x
,
y
,
z
∈
Z
{\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }
darstellbar ist? Wie lauten zu einer gegebenen Zahl
n
{\displaystyle n}
mögliche Zahlentripel
x
,
y
{\displaystyle x,\ y}
und
z
{\displaystyle z}
, so dass
n
=
x
3
+
y
3
+
z
3
{\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3))
erfüllt ist? Wie viele Lösungen gibt es für eine gegebene Zahl
n
{\displaystyle n}
?
Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene
n
{\displaystyle n}
ist ein seit 160 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie .[1]
Lösungen der Gleichung
Darstellungen für n = 0
Die einfachste triviale Darstellung für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
als Summe dreier Kubikzahlen lautet:
0
=
0
3
+
0
3
+
0
3
{\displaystyle 0=0^{3}+0^{3}+0^{3))
.Weitere triviale Darstellungen lauten:
0
=
0
3
+
a
3
+
(
−
a
)
3
{\displaystyle 0=0^{3}+a^{3}+(-a)^{3))
mit
a
∈
Z
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
.Nichttriviale Darstellungen existieren nicht.
Beweis:
Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form
0
=
x
3
+
y
3
+
z
3
{\displaystyle 0=x^{3}+y^{3}+z^{3))
mit
x
,
y
,
z
≠
0
{\displaystyle x,y,z\not =0}
. Genau eine oder zwei der Variablen
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass
x
>
0
,
y
>
0
,
z
<
0
{\displaystyle x>0,y>0,z<0}
(Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung
−
x
,
−
y
,
−
z
{\displaystyle -x,-y,-z}
). Bringt man
z
3
{\displaystyle z^{3))
auf die rechte Seite, erhält man mit
x
3
+
y
3
=
−
z
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=-z^{3))
eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
x
3
+
y
3
=
z
′
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=z'^{3))
mit
z
′
=
−
z
>
0
{\displaystyle z'=-z>0}
. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz , der besagt, dass die Gleichung
x
3
+
y
3
=
z
3
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3))
für positive ganze Zahlen
x
,
y
,
z
∈
N
{\displaystyle x,y,z\in \mathbb {N} }
keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form
x
3
+
y
3
+
z
3
=
0
{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=0}
geben kann. ∎
Darstellungen für n = 1
Die triviale Darstellung für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
als Summe dreier Kubikzahlen lautet:
1
=
0
3
+
0
3
+
1
3
{\displaystyle 1=0^{3}+0^{3}+1^{3))
.Neben dieser existieren aber auch weitere Darstellungen, wie z. B.:
1
=
(
−
6
)
3
+
(
−
8
)
3
+
9
3
{\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3))
.
.
.
{\displaystyle ...}
1
=
131769
3
+
(
−
131802
)
3
+
11980
3
{\displaystyle 1=131769^{3}+(-131802)^{3}+11980^{3))
.Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Darstellungen. Die einfachste lautet:
1
=
c
3
+
(
−
c
)
3
+
1
3
{\displaystyle 1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3))
mit
c
∈
Z
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} }
.Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:[1]
1
=
(
9
c
4
)
3
+
(
±
3
c
−
9
c
4
)
3
+
(
1
∓
9
c
3
)
3
{\displaystyle 1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3))
mit
c
∈
Z
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} }
=
729
c
12
⏟
4
±
27
c
3
⏟
1
−
243
c
6
⏟
2
±
729
c
9
⏟
3
−
729
c
12
⏟
4
+
1
∓
27
c
3
⏟
1
+
243
c
6
⏟
2
∓
729
c
9
⏟
3
=
1
{\displaystyle \ \ =\underbrace {\bcancel {729c^{12))} _{4}\quad \pm \underbrace {\bcancel {27c^{3))} _{1}-\underbrace {\bcancel {243c^{6))} _{2}\pm \underbrace {\bcancel {729c^{9))} _{3}-\underbrace {\bcancel {729c^{12))} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\bcancel {27c^{3))} _{1}+\underbrace {\bcancel {243c^{6))} _{2}\mp \underbrace {\bcancel {729c^{9))} _{3}=1}
wie auch folgende:[1]
1
=
(
−
135
c
4
+
3888
c
10
)
3
+
(
3
c
−
81
c
4
−
1296
c
7
−
3888
c
10
)
3
+
(
1
−
9
c
3
+
648
c
6
+
3888
c
9
)
3
{\displaystyle 1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3))
mit
c
∈
Z
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} }
.Für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien[2] . Neben
(
x
c
,
0
,
y
c
,
0
,
z
c
,
0
)
=
(
9
c
4
,
+
3
c
−
9
c
4
,
1
−
9
c
3
)
{\displaystyle (x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})}
,
(
x
c
,
1
,
y
c
,
1
,
z
c
,
1
)
=
(
9
c
4
,
−
3
c
−
9
c
4
,
1
+
9
c
3
)
{\displaystyle (x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})}
lassen sich für jedes einzelne
c
∈
Z
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} }
unendlich viele weitere Tripel
(
x
c
,
k
,
y
c
,
k
,
z
c
,
k
)
{\displaystyle (x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})}
mit
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
rekursiv mittels
x
c
,
k
=
2
(
216
c
6
−
1
)
x
c
,
k
−
1
−
x
c
,
k
−
2
−
108
c
4
{\displaystyle x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4))
,
y
c
,
k
=
2
(
216
c
6
−
1
)
y
c
,
k
−
1
−
y
c
,
k
−
2
−
108
c
4
{\displaystyle y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4))
und
z
c
,
k
=
2
(
216
c
6
−
1
)
z
c
,
k
−
1
−
z
c
,
k
−
2
+
216
c
6
+
4
{\displaystyle z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4}
konstruieren.[2] Für
k
=
0
{\displaystyle k=0}
und
1
{\displaystyle 1}
erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für
k
=
2
{\displaystyle k=2}
die kompliziertere.
Darstellungen für n = 2
Die triviale Darstellung für
n
=
2
{\displaystyle n=2}
als Summe dreier Kubikzahlen lautet:
2
=
0
3
+
1
3
+
1
3
{\displaystyle 2=0^{3}+1^{3}+1^{3))
.Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet[1]
2
=
(
1
+
6
c
3
)
3
+
(
1
−
6
c
3
)
3
+
(
−
6
c
2
)
3
{\displaystyle 2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3))
mit
c
∈
Z
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} }
.Weitere bekannte Darstellungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:
2
=
1214928
3
+
3480205
3
+
(
−
3528875
)
3
2
=
37404275617
3
+
(
−
25282289375
)
3
+
(
−
33071554596
)
3
2
=
3737830626090
3
+
1490220318001
3
+
(
−
3815176160999
)
3
{\displaystyle {\begin{array}{lrcrcr}2=&1214928^{3}&+&3480205^{3}&+&(-3528875)^{3}\\2=&37404275617^{3}&+&(-25282289375)^{3}&+&(-33071554596)^{3}\\2=&3737830626090^{3}&+&1490220318001^{3}&+&(-3815176160999)^{3}\end{array))}
Darstellungen für n = 3
Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen für
n
=
3
{\displaystyle n=3}
als Summe dreier Kubikzahlen folgende:
3
=
1
3
+
1
3
+
1
3
{\displaystyle 3=1^{3}+1^{3}+1^{3))
und
3
=
4
3
+
4
3
+
(
−
5
)
3
{\displaystyle 3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3))
Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:[3]
3
=
569936821221962380720
3
+
(
−
569936821113563493509
)
3
+
(
−
472715493453327032
)
3
{\displaystyle 3=569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3))
Man weiß nicht, ob es nur diese drei, endlich viele oder unendlich viele Darstellung für
n
=
3
{\displaystyle n=3}
gibt.
Darstellungen für n = 4 und 5
Für
n
=
4
{\displaystyle n=4}
und
5
{\displaystyle 5}
gibt es keine Lösungen.
Darstellungen für n = 6
Es gibt mehrere Darstellungen; die für
|
x
|
≤
|
y
|
≤
|
z
|
≤
1000
{\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}
lauten:
6
=
(
−
1
)
3
+
(
−
1
)
3
+
2
3
{\displaystyle 6=(-1)^{3}+(-1)^{3}+2^{3))
6
=
(
−
43
)
3
+
(
−
58
)
3
+
65
3
{\displaystyle 6=(-43)^{3}+(-58)^{3}+65^{3))
6
=
(
−
55
)
3
+
(
−
235
)
3
+
236
3
{\displaystyle 6=(-55)^{3}+(-235)^{3}+236^{3))
6
=
(
−
205
)
3
+
(
−
637
)
3
+
644
3
{\displaystyle 6=(-205)^{3}+(-637)^{3}+644^{3))
Darstellungen für n = 7
Es gibt mehrere Darstellungen; die für
|
x
|
≤
|
y
|
≤
|
z
|
≤
1000
{\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}
lauten:
7
=
0
3
+
(
−
1
)
3
+
2
3
{\displaystyle 7=0^{3}+(-1)^{3}+2^{3))
7
=
32
3
+
104
3
+
(
−
105
)
3
{\displaystyle 7=32^{3}+104^{3}+(-105)^{3))
7
=
44
3
+
168
3
+
(
−
169
)
3
{\displaystyle 7=44^{3}+168^{3}+(-169)^{3))
Konstruierbare Lösungen für n = k 3 m
Lässt sich
n
{\displaystyle n}
als Produkt einer Kubikzahl
k
3
{\displaystyle k^{3))
und einer Zahl
m
{\displaystyle m}
darstellen,
erbt diese Zahl
n
{\displaystyle n}
alle Lösungen der Zahl
m
{\displaystyle m}
auf folgende Weise:
m
=
x
3
+
y
3
+
z
3
⟶
n
=
k
3
m
=
k
3
(
x
3
+
y
3
+
z
3
)
⟶
n
=
k
3
m
=
(
k
x
)
3
+
(
k
y
)
3
+
(
k
z
)
3
{\displaystyle m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3))
Beispiel
1
=
(
−
6
)
3
+
(
−
8
)
3
+
9
3
⟶
8
=
(
−
12
)
3
+
(
−
16
)
3
+
18
3
{\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+18^{3))
Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 107
Folgende Tabelle enthält für
0
≤
n
≤
107
,
n
∈
N
0
{\displaystyle 0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0))
die jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung
n
=
x
3
+
y
3
+
z
3
{\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3))
mit
|
x
|
≤
|
y
|
≤
|
z
|
{\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}
,
x
,
y
,
z
∈
Z
{\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }
:[4]
[5] [6] [7] [8] [9]
Eigenschaften
Sei
n
=
x
3
+
y
3
+
z
3
{\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3))
ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für
n
{\displaystyle n}
die folgende:
n
≢
±
4
(
mod
9
)
{\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9))}
Ausführlicher Beweis dieser Satzes
Für den Beweis benötigen wir zuerst folgenden Hilfssatz:
Für jede Kubikzahl
x
3
{\displaystyle x^{3))
mit
x
∈
Z
{\displaystyle x\in \mathbb {Z} }
gilt:
x
3
≡
−
1
,
0
oder
+
1
(
mod
9
)
{\displaystyle x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder ))+1{\pmod {9))}
Beweis dieses Hilfssatzes:
Wir testen alle neun möglichen Varianten
x
≡
0
…
8
(
mod
9
)
{\displaystyle x\equiv 0\ldots 8{\pmod {9))}
durch:
Für
x
≡
0
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
0
3
=
0
0
(
mod
9
)
Für
x
≡
1
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
1
3
=
1
+
1
(
mod
9
)
Für
x
≡
2
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
2
3
=
8
−
1
(
mod
9
)
Für
x
≡
3
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
3
3
=
27
≡
0
(
mod
9
)
Für
x
≡
4
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
4
3
=
64
≡
+
1
(
mod
9
)
Für
x
≡
5
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
5
3
=
125
≡
−
1
(
mod
9
)
Für
x
≡
6
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
6
3
=
216
≡
0
(
mod
9
)
Für
x
≡
7
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
7
3
=
343
≡
+
1
(
mod
9
)
Für
x
≡
8
(
mod
9
)
gilt:
x
3
≡
8
3
=
512
≡
−
1
(
mod
9
)
{\displaystyle {\begin{array}{rlr}{\text{Für ))x\equiv 0{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 0^{3}=0&0{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 1{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 1^{3}=1&+1{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 2{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 2^{3}=8&-1{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 3{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 3^{3}=27\equiv &\ 0{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 4{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 4^{3}=64\equiv &+1{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 5{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 5^{3}=125\equiv &-1{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 6{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 6^{3}=216\equiv &\ 0{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 7{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 7^{3}=343\equiv &+1{\pmod {9))\\{\text{Für ))x\equiv 8{\pmod {9)){\text{ gilt: ))&x^{3}\equiv 8^{3}=512\equiv &-1{\pmod {9))\end{array))}
Somit gilt für alle
x
∈
Z
{\displaystyle x\in \mathbb {Z} }
, dass nur
x
3
≡
−
1
,
0
oder
+
1
(
mod
9
)
{\displaystyle x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder ))+1{\pmod {9))}
sein kann,
womit dieser Hilfssatz bewiesen ist.
Beweis des Hauptsatzes:
Nun muss bewiesen werden, dass die Summe
n
{\displaystyle n}
dreier Kubikzahlen nie
n
≡
4
oder
5
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv 4{\text{ oder ))5{\pmod {9))}
sein kann.
Dazu addieren wir drei Zahlen
x
3
,
y
3
und
z
3
{\displaystyle x^{3},y^{3}{\text{ und ))z^{3))
mit jeweils der Eigenschaft
x
3
,
y
3
,
z
3
≡
−
1
,
0
oder
+
1
(
mod
9
)
{\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder )){+1}{\pmod {9))}
.
Dabei sind für
n
=
x
3
+
y
3
+
z
3
≡
−
3
,
…
,
+
3
{\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv -3,\ \ldots ,+3}
erreichbar, da
maximal drei positive Gewichte
+
1
{\displaystyle +1}
(ergibt dann
+
3
{\displaystyle +3}
) oder
maximal drei negative Gewichte
−
1
{\displaystyle -1}
(ergibt dann
−
3
{\displaystyle -3}
) addiert werden können.
Da
n
≡
±
4
≡
−
5
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv \pm 4\equiv -5{\pmod {9))}
nicht
n
≡
−
3
,
…
,
+
3
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv -3,\ \ldots ,+3{\pmod {9))}
erfüllen, sind sie durch keine der möglichen Summen erreichbar.
Somit ist immer
n
≢
±
4
(
mod
9
)
{\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9))}
, was zu zeigen war. ∎
Leider ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für
n
{\displaystyle n}
auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung
n
=
x
3
+
y
3
+
z
3
{\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3))
für alle
n
≢
±
4
(
mod
9
)
{\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9))}
unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.[15] Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen
x
{\displaystyle x}
und
n
{\displaystyle n}
, wie zum Beispiel die folgenden:[16] Sei
n
=
x
3
+
y
3
+
z
3
{\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3))
ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem
n
{\displaystyle n}
gelten die folgenden Bedingungen für
x
{\displaystyle x}
:
Wenn
n
≡
+
2
(
mod
7
)
{\displaystyle n\equiv +2{\pmod {7))}
ist, muss gelten:
x
≡
0
,
+
1
,
+
2
{\displaystyle x\equiv 0,+1,+2}
oder
+
4
(
mod
7
)
{\displaystyle +4{\pmod {7))}
.
Wenn
n
≡
−
2
(
mod
7
)
{\displaystyle n\equiv -2{\pmod {7))}
ist, muss gelten:
x
≡
0
,
−
1
,
−
2
{\displaystyle x\equiv 0,-1,-2}
oder
−
4
(
mod
7
)
{\displaystyle -4{\pmod {7))}
.
Wenn
n
≡
+
3
(
mod
7
)
{\displaystyle n\equiv +3{\pmod {7))}
ist, muss gelten:
x
≡
+
1
,
+
2
{\displaystyle x\equiv +1,+2}
oder
+
4
(
mod
7
)
{\displaystyle +4{\pmod {7))}
.
Wenn
n
≡
−
3
(
mod
7
)
{\displaystyle n\equiv -3{\pmod {7))}
ist, muss gelten:
x
≡
−
1
,
−
2
{\displaystyle x\equiv -1,-2}
oder
−
4
(
mod
7
)
{\displaystyle -4{\pmod {7))}
.
Wenn
n
≡
+
2
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv +2{\pmod {9))}
ist, muss gelten:
x
,
y
,
z
≢
+
2
(
mod
3
)
{\displaystyle x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3))}
.
Wenn
n
≡
−
2
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv -2{\pmod {9))}
ist, muss gelten:
x
,
y
,
z
≢
−
2
(
mod
3
)
{\displaystyle x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3))}
.
Wenn
n
≡
+
3
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv +3{\pmod {9))}
ist, muss gelten:
x
,
y
,
z
≡
+
1
(
mod
3
)
{\displaystyle x,y,z\equiv +1{\pmod {3))}
.
Wenn
n
≡
−
3
(
mod
9
)
{\displaystyle n\equiv -3{\pmod {9))}
ist, muss gelten:
x
,
y
,
z
≡
−
1
(
mod
3
)
{\displaystyle x,y,z\equiv -1{\pmod {3))}
.
Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 91 der OEIS entnehmen
Im Folgenden wird beschrieben, wie die kleinsten Lösungen für größere n den Listen Folge A060464 in OEIS ... Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind.
Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte für n , x , y und z für Werte von n , für die eine Lösung existiert und bekannt ist. Es ist jeweils die Lösung mit
|
x
|
≤
|
y
|
≤
|
z
|
{\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}
enthalten.
Folge A060464 in OEIS enthält die
n
{\displaystyle n}
:
0 0, 0 1, 0 2, 0 3, 0 6, 0 7, 0 8,
0 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 24 , 25, 26,
27, 28, 29, 30, 33, 34, 35,
36, 37, 38, 39, 42, 43, 44, … Folge A060465 in OEIS enthält die
x
{\displaystyle x}
:
0, 0, 0, 1, −1, 0, 0,
0, 1, −2, 7, −1, −511, 1,
−1, 0, 1, −11, −2901096694 , −1, 0,
0, 0, 1, −283059965, −2736111468807040, −1, 0,
1, 0, 1, 117367, 12602123297335631, 2, −5, … Folge A060466 in OEIS enthält die
y
{\displaystyle y}
:
0, 0, 1, 1, −1, −1, 0,
1, 1, −2, 10, 2, −1609, 2,
−2, −2, −2, −14, −15550555555 , −1, −1,
0, 1, 1, −2218888517, −8778405442862239, 2, 2,
2, −3, −3, 134476, 80435758145817515, 2, −7, Folge A060467 in OEIS enthält die
z
{\displaystyle z}
:
0, 1, 1, 1, 2, 2, 2,
2, 2, 3, −11, 2, 1626, 2,
3, 3, 3, 16, 15584139827 , 3, 3,
3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3,
3, 4, 4, −159380, −80538738812075974, 3, 8, …
Beispiel für n = 24, dem 19. Eintrag
In obigen vier Listen wurde jeweils der 19. Eintrag fett markiert. Die Werte lauten:
n = 24
x = −2901096694
y = −15550555555
z = 15584139827 Die kleinstmögliche Darstellung für n = 24 lautet damit:
24
=
(
−
2901096694
)
3
+
(
−
15550555555
)
3
+
15584139827
3
{\displaystyle 24=(-2901096694)^{3}+(-15550555555)^{3}+15584139827^{3))