Panjer-Verteilung | |
Verteilungsfunktion | |
Parameter | a,b |
---|---|
Träger | |
Erwartungswert | |
Varianz |
Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen negative Binomialverteilung, Binomialverteilung (für ) und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Somit gehört sie zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wird in der Versicherungsmathematik eingesetzt als Schadenzahlverteilung, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.
Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf , für die es Konstanten mit gibt, so dass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte gilt:
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Normierungsbedingung
Eine Folge mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle stochastische Folge, die als Panjer-Folge bezeichnet wird.[1]
Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch
Es ist
woraus folgt, dass
Verteilung | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Binomial | |||||||
Poisson | |||||||
Negativ Binomial |
Mit erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also .
Mit erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist .
Mit erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun .