Die Orthodrome (griech.orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche, also gerade nicht durch die Kugel hindurch.
Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu können. Die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung ist Luftlinie.
Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:
Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für im Bogenmaß; falls in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit ° multipliziert werden).
Der Winkel kann über das Skalarprodukt der Ortsvektoren von und berechnet werden. Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alternativ kann die Formel hergeleitet werden, indem der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie auf das aus den Punkten und und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird.
Ob eine Orthodrome zwischen den Grenzpunkten einen nördlichsten oder südlichsten Punkt (Scheitelpunkt) hat, hängt vom Kurswinkel an Anfangs- und Endpunk tab. Ein nördlicher Scheitelpunkt existiert, wenn sowohl Anfangs- als auch Endpunkt einen Kurswinkel nördlich der Ost-West-Linie haben. Ein südlicher Scheitelpunkt existiert, wenn sowohl Anfangs- als auch Endpunkt einen Kurswinkel südlich der Ost-West-Linie haben. In allen anderen Fällen sind Anfangs- und Endpunkt zugleich nördlichster oder südlichser Punkt.
Die folgende Formel ist mathematisch unsauber! Es hängt auch vom Kurswinkel des Endpunkts ab! Die Orthodrome von z. B. Berlin nach Wien hat keinen Scheitelpunkt, denn sie verläuft permanent zwischen Ost und Süd.
Die Formel gibt stattdessen den nördlichsten Punkt des ganzen Großkreises wieder, egal ob Teil der Orthodrome oder nicht! Der südlichste Punkt ist die Antipode zum nördlichen
Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodromeeines Großkreises für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:
Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.
Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde
Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoids verwendet werden, müssen die Parameter (Radius) und (Abplattung) angepasst werden.
Seien und die geografische Breite und Länge von Standort A, und die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:
Gegenüberstellung von Loxodrome (rot) und Orthodrome (blau) in Mercatorkarte, mit Weglängen in Kilometern.
Weg
Lox.
Orth.
Diff.
NY-MO
8359 km
7511 km
10,1 %
NY-DA
6207 km
6150 km
00,9 %
DA-MO
6596 km
6509 km
01,3 %
Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie die Meridiane immer im gleichen Winkel kreuzt, man also den einmal eingestellten (Kompass-)Kurs einfach beibehalten kann.
Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und bei Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis, der dann über den Pol verläuft.