Der Maxwellsche Spannungstensor
(benannt nach James Clerk Maxwell) ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der in der klassischen Elektrodynamik verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Kräften und mechanischem Impuls darzustellen.
In einfachen Situationen, beispielsweise eine elektrische Punktladung, die sich in einem homogenen Magnetfeld frei bewegt, lassen sich die Kräfte auf die Ladung durch die Lorentzkraft berechnen. Für komplexere Probleme wird das Verfahren über die Lorentzkraft sehr lang. Es ist daher zweckmäßig, verschiedene Größen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln.
In der relativistischen Formulierung des Elektromagnetismus erscheint der Maxwell-Tensor als Teil des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors.
Im Vakuum ist der Maxwellsche Spannungstensor in SI-Einheiten definiert durch
,
wobei
In gaußschen cgs-Einheiten ergibt sich der Tensor zu
![{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{4\pi ))\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2))\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a49ab34e1a05254c33f919288f70a92b13a24a)
mit den Komponenten
der magnetischen Feldstärke.
Für elektromagnetische Wellen in einem linearen Medium lässt sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als:[1]
![{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{4\pi ))\left(E_{i}D_{j}+H_{i}B_{j}-{\frac {1}{2))\left({\vec {E))\cdot {\vec {D))+{\vec {H))\cdot {\vec {B))\right)\delta _{ij}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1a54c5b88b386d498fa99af0735ebb553a9f9c)
Diese Definition ist für anisotrope Medien jedoch nicht mehr symmetrisch.[1]
Für rein magnetische Felder (z. B. näherungsweise in Motoren) fallen einige Terme weg, wodurch sich der Maxwell-Tensor vereinfacht zu:
![{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{\mu _{0))}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0))}B^{2}\delta _{ij))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fceaaa1ac92a218228b7e0acac69988a04033bea)
Für zylinderförmige Objekte – z. B. die Rotoren eines Motors – ergibt sich
![{\displaystyle T_{rt}={\frac {1}{\mu _{0))}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0))}B^{2}\delta _{rt))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff86fdca2a3172df73d839018c578d5971f00a5)
Dabei ist
die Scherung in radialer Richtung (vom Zylinder nach außen)
die Scherung in tangentialer Richtung (um den Zylinder herum). Der Motor wird hierbei durch die Tangentialkraft angetrieben.
die Flussdichte in radialer Richtung
die Flussdichte in tangentialer Richtung.
In der Elektrostatik, für die das Magnetfeld verschwindet (
), ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor. In Komponentenschreibweise ergibt sich dieser durch:
![{\displaystyle T_{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2))\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a6eefa8285f166319ef4b0bf7c1bca74ddb82a)
und in symbolischer Schreibweise durch
![{\displaystyle {\boldsymbol {T))=\varepsilon _{0}{\vec {E))\otimes {\vec {E))-{\frac {1}{2))\varepsilon _{0}({\vec {E))\cdot {\vec {E)))\mathbf {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4422fe7d182f3d155860fb3db6c9ee575d1ab7de)
wobei
der Identitätstensor sei.
- ↑ a b John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter, 2020, ISBN 3-11-232201-0, S. 280 (englisch: Classical Electrodynamics. Übersetzt von Kurt Müller).