Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter eingeführt:
Für die Magnetisierung eines Paramagneten ergibt sich dann:
steht dabei für die Stoffmenge und für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.
Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.
Eine verbreitete Näherung, die im Intervall gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]
Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um . Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.[3][4]
Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt[5] und hat den Konvergenzradius 1:
↑A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr.3, 1991, S.270–273, doi:10.1007/BF00366640.
↑R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S.8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
↑M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223. Jahrgang, 2015, S.77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.
↑Laurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470551585 S. 277 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)