Nach dem Abitur in Hamburg studierte Vogt zunächst Literaturwissenschaft, Germanistik und Musikwissenschaft, absolvierte gleichzeitig eine Schauspielausbildung (Hamburgisches Schauspielstudio Hildburg Frese, Abschlussprüfung 1969) und spielte ebenfalls gleichzeitig zwei Jahre lang am St. Pauli Theater in Hamburg diverse Stücke. Anschließend war er kurze Zeit als freier Schauspieler tätig (Theater für Kinder Hamburg, Theater im Zimmer Hamburg, Theater Kiel, Contra-Kreis-Theater in Bonn, Landesbühne Bad Hersfeld, mehrere Rollen für TV und Kino) und begann dann ein Musikstudium an der Hochschule für Musik in Hamburg (Abschluss als Musiklehrer, Abschlussnote Eins mit Auszeichnung). Zur gleichen Zeit bekam er einen Solistenvertrag an der Staatsoper Hamburg für die Uraufführung des Stücks „Staatstheater“ von Mauricio Kagel. Anschließend war er mit dem von Kagel gegründeten „Kölner Ensemble für neues Musiktheater“ auf Tournee in Europa, Asien und Nord- und Südamerika.
Dann verabschiedete Vogt sich von seinen künstlerischen Tätigkeiten und begann 1974 ein Jurastudium. 1975 gastierte er kurz am Theater für Kinder als Schauspieler und dem neu gegründeten Theater Das Schiff von Eberhard Möbius als Musiker. 1976 holte ihn das Hamburger Ohnsorg-Theater, dem er dann ab 1978 als festes Ensemblemitglied angehörte, als Schauspieler und musikalischen Leiter. Das Jurastudium gab er daraufhin auf.
Seit der Zeit arbeitet er als Schauspieler und Sprecher für Theater, Funk und Fernsehen, Hörbücher und Werbung, als Produzent und als freier Autor sowohl hochdeutsch als auch plattdeutsch, u. a. für den NDR (u. a. Hör mal ’n beten to), für DIE WELT und das Hamburger Abendblatt (plattdeutsche Kolumnen) sowie für private Rundfunksender. So entwickelte er 1995 für Radio Hamburg die Comedy-Figur „Frisör Dieter“ (insgesamt fast 700 Folgen) und 1999 für NDR 90,3 die Comedy-Figur „Helene Hoyer“ (insgesamt fast 400 Folgen); für beide war er Autor und Sprecher.
Seit 1984 tritt Vogt mit unterschiedlichen Solo-Programmen auf, plattdeutsch, norddeutsch, Krimi-Lesung, „Hans Albers“ („Hoppla, jetzt kommt Hans“, Premiere 1999) und seit 2017 mit dem Programm „Von Ringelnatz und Waterkant“.
2008 gründete er „Jasper Vogts Hafenmusikanten“.
1984 rief Jasper Vogt den Verein Tandemclub Weiße Speiche Hamburg e. V. ins Leben und führte ihn fast 13 Jahre — von Ende 1984 bis Mitte 1997 — als 1. Vorsitzender. Der Tandemclub organisiert auch heute noch Tandemtouren mit Blinden, Sehbehinderten und Sehenden. Für dieses Engagement wurde er 1986 in Baden-Baden als Breitensportler des Jahres ausgezeichnet (neben Boris Becker und Steffi Graf als Sportler des Jahres).
