In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe
als „aktiver“ Teil und eine Menge
als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements
auf der Menge
ist eine Transformation (bijektive Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente
auf den Elementen der Menge
in der Weise, dass die Aktion des Produkts
der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.
Die operierende Gruppe
wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge
zusammen mit der Operation von
auf
heißt
-Menge.
Ist bei der Menge
zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische, topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.
Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, in Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund.
Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Cube_rotation_and_reflection_and_mirror%28de%29.svg/540px-Cube_rotation_and_reflection_and_mirror%28de%29.svg.png)
seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h.,
und
sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:
und gleichzeitig
![{\displaystyle E\;\,\mapsto \;\,F\;\,\mapsto \;\,G\;\,\mapsto \;\,H\;\,\mapsto \;\,E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e3a1288d4644250872168fd693bdb51dc8002e)
Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die 4 Raumdiagonalen vertauscht, nämlich
![{\displaystyle AG\mapsto BH\mapsto CE\mapsto DF\mapsto AG.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe476b1d8a1dab841124adb9349ced914365cab)
Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene
(viertes Bild), lässt die 2 Raumdiagonalen
und
fest und vertauscht die anderen 2
und ![{\displaystyle DF\mapsto CE.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59019b1c2c842f4b36d8da43006b92854317abaa)
Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht
und gleichzeitig
und gleichzeitig
und gleichzeitig
![{\displaystyle D\mapsto F\mapsto D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f11f668d5d18d8b2f462416b779464cdb9f8fbe)
Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.
Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.
Es gibt nun zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar
und
), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es
dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt
![{\displaystyle 24\cdot 2=48}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8531f49885c08c050675fad78f595aa2305e7a29)
Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)
Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe
auf einer Menge
ist eine äußere zweistellige Verknüpfung
![{\displaystyle \triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268bfb7959fcb99b748028b713a9f31c7481924e)
mit folgenden Eigenschaften:
für alle
, wobei
das neutrale Element von
ist („Identität“),
für alle
(„Verträglichkeit“).
Man sagt dann,
operiert (von links) auf
, und nennt
zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke)
-Menge.
Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes
die Transformation
eine bijektive Abbildung ist (die Umkehrabbildung
ist
). Deswegen ist die Aktion eines Gruppenelements
nicht nur eine Selbstabbildung, sondern eine Permutation von
, und eine Gruppenoperation von
auf
kann mit einem Gruppenhomomorphismus von
in die symmetrische Gruppe
gleichgesetzt werden.
Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung
![{\displaystyle \triangleleft \colon X\times G\to X;\qquad (x,g)\mapsto x\triangleleft g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf36fb526e75b4f3f71d2f1019fff81d88835fbb)
mit
für alle
und das neutrale Element
von ![{\displaystyle G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2c972dfcbb2bb5f88ddfd1b997e0a08c21363)
für alle ![{\displaystyle g,h\in G,x\in X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3654d6b4563ad01fdc6620786374b6ed3f045c)
Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen
auf
operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst
und dann
, während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.
Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt
von links
von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation
gibt es eine Linksoperation
![{\displaystyle \triangleright \colon G\times X\to X;\qquad (g,x)\mapsto g\triangleright x:=x\triangleleft g^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15feeb8dfaffe4ed795e1d4bb9931e99c203640)
denn
![{\displaystyle e\triangleright x=x\triangleleft e^{-1}=x\triangleleft e=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab968d76ddc146a101af8e3fcedb1b5336e89041)
und
![{\displaystyle {\begin{aligned}(g*h)\triangleright x&=x\triangleleft (g*h)^{-1}=x\triangleleft (h^{-1}*g^{-1})\\&=(x\triangleleft h^{-1})\triangleleft g^{-1}=(h\triangleright x)\triangleleft g^{-1}=g\triangleright (h\triangleright x).\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd57d333ce2ecc99cb6e44c1a4ff759d53fd4446)
Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.
Es sei
die (Links-)Operation einer Gruppe
auf einer Menge
Für jedes
nennt man dann
![{\displaystyle G\triangleright x:=\{g\triangleright x\mid g\in G\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a85217247ac28ce7db91ac177e30cddef43712)
die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von
Die Bahnen bilden eine Partition von
Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes
nennt man die durch
![{\displaystyle g\mapsto gx_{0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d83948483dc4f2a1439f11d28bac50da585340a)
gegebene Abbildung
die „Orbitabbildung“.
Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:
![{\displaystyle x\sim y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4056da37caac03db1f9490759fdfa7f90070e773)
falls es ein
gibt, für das
gilt.
Die Menge
der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt.
Für eine Rechtsoperation
definiert man analog
![{\displaystyle x\triangleleft G:=\{x\triangleleft g\mid g\in G\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366549baa82d015ea53d81fae75783261c37e5e6)
und
![{\displaystyle X/G:=\{x\triangleleft G\mid x\in X\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c55a086c1fb628ebdfba09b08a24a4bbd5d9eb4)
Seien
ein topologischer Raum und
eine Transformationsgruppe von
. Für einen Punkt
bezeichne
die Bahn von
. Dann heißt die Menge
ein Fundamentalbereich von
, wenn der Schnitt
für jedes
eine einelementige Menge ist.[1]
- Beispiel
Das Quadrat
ist ein Fundamentalbereich von
bezüglich der Transformationsgruppe
. Jeder Punkt
lässt sich schreiben als
mit
und
.
Man bezeichnet die Gruppenoperation
von
auf
als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe
operiert (einfach) transitiv auf
“, wenn es zu je zwei Elementen
ein
gibt, so dass
gilt. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn, die ganz
umfasst. Ist das Gruppenelement
mit
darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente
eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.
Gibt es sogar zu jedem Paar von Urbildern
mit
und jedem Paar von Bildern
mit
ein Gruppenelement
, für das
und
ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.
Wenn Missverständnisse nicht zu befürchten sind, kann anstelle der Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“ auch die kürzere „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) vorkommen.
Allgemein bestimmt eine Operation
der Gruppe
auf
für
stets eine Operation
![{\displaystyle \triangleright _{k}\colon G\times X^{k}\to X^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ccf3a0fd1495b414122c67cc22913b8708c5df)
auf den geordneten Teilmengen von
mit
Elementen (k-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten) durch
![{\displaystyle g\triangleright _{k}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k})=(g\triangleright x_{1},g\triangleright x_{2},\dotsc ,g\triangleright x_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac10405dbf5eaba576ae29c21c0dcd42600d192a)
Ist
(scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation
(scharf)
-fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe operiert via
genau dann
-fach transitiv auf
wenn
bezüglich
nur eine Bahn (nämlich
selbst) hat, scharf
-fach transitiv, wenn es für Elemente (k-Tupel)
dieser Bahn stets genau ein Gruppenelement
mit
gibt.
Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.
- Beispiele
- Die Vierergruppe
operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge
, da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe
, die isomorph zu
ist.
- Die Galoisgruppe eines über
irreduziblen Polynoms mit rationalen Koeffizienten operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.[2]
Hat die Gruppenoperation mehr als eine Bahn, nennt man sie intransitiv. Diejenigen Permutationen einer intransitiven Permutationsgruppe, die nur die Ziffern einer Bahn vertauschen, die übrigen Ziffern ungeändert lassen, bilden eine Untergruppe, die transitiv wird, wenn man die ungeänderten Ziffern weglässt.
Eine Verallgemeinerung der
-fach transitiven Operation ist die
-fach homogene Operation. Eine Gruppe
operiert
-fach homogen auf der Menge
mit
wenn es für zwei beliebige Teilmengen
mit je genau
Elementen stets mindestens ein Gruppenelement
gibt, das
auf
abbildet, also mit
Jede
-fach transitive Operation ist auch
-fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die
vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.
Für ein
nennt man
![{\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\triangleright x=x\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416de45bb920916789f7f214e6de8c9cba129d14)
den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von
ist eine Untergruppe von
, die auf
operiert. Durch die Operation
ist dann eine kanonische Bijektion zwischen dem Bahnenraum (Nebenklassen, siehe unten) des Stabilisators und der Bahn von
gegeben:
![{\displaystyle G/G_{x}\;{\stackrel {\cong }{\to ))\;G\triangleright x,\quad g*G_{x}\mapsto g\triangleright x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999318a1cf84212d93ecb0831dccdaff5c3d9efb)
operiert (durch Einschränkung von
) auf
Ist diese Operation
-fach transitiv und
so ist die Operation von
auf
sogar
-fach transitiv.
Ist
eine Teilmenge und
eine Untergruppe, und gilt
mit ![{\displaystyle H\triangleright Y:=\{h\triangleright y\mid h\in H,y\in Y\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4016be165362c30a7a32b15ed228027e200bff24)
so sagt man, dass
stabil unter
ist oder dass
von
stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar
Der Stabilisator eines Punktes
ist also die maximale Untergruppe von
die
stabilisiert.
Die Operation heißt frei, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h.
für alle
Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus
trivialen Kern hat, also injektiv ist. Für treue Operationen kann
als Untergruppe von
aufgefasst werden. Für treue Operationen mit endlicher Menge
sagt man auch: „
operiert als Permutationsgruppe auf
“
Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.
Wenn
eine weitere Menge mit einer
-Linksoperation
ist und
eine Abbildung, so dass für alle
und für alle
gilt:
![{\displaystyle \varphi (g\triangleright x)=g\star \varphi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24075f1756cde26ec852ceeeb91f58e6bed231e2)
dann wird
als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von
-Mengen bezeichnet.
Die Äquivalenzklassen der oben eingeführten Äquivalenzrelation
sind genau die Bahnen. Daraus folgt die
- Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von
ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.
Genauer gilt (mit
als der Fixgruppe von
) der
- Bahnensatz: Ist
dann ist die Abbildung
eine Bijektion.
Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe
die Bahnformel
![{\displaystyle |G\triangleright x|\cdot |G_{x}|=|G|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3d69e8d06756422fa6ce9f56cbad732191ed23)
Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von
Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe
auf sich selbst:
ist stets eine Operation auf
, denn
und
Die Abbildung
ordnet jedem Gruppenelement
die Linkstranslation
mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist
ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den
- Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung
ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe ![{\displaystyle \operatorname {Sym} _{n\!}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2db5b31b0b20c502ac2a0b8b5076479be152b5)
Analoges gilt auch für die Rechtstranslation
Betrachtet man eine Untergruppe
von
dann operiert auch
auf
Die Bahn
eines Elements
heißt dann auch Rechtsnebenklasse und
Linksnebenklasse von
Man beachte, dass im Allgemeinen nicht
sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit
![{\displaystyle G:H:=|H\backslash G|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36263a8f8a8b02e10a8b06b098b56cb9def72278)
Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt
für jedes
Daraus folgt mit der Bahnengleichung der
- Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe
einer endlichen Gruppe
gilt:
![{\displaystyle |G|=(G:H)\cdot |H|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a54f103c15c943550f13dfbf941c212a8564ae)
- Insbesondere ist die Ordnung von
ein Teiler der Ordnung von ![{\displaystyle G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc645a5b7e8a2022ad70fc42dbda04c008a33a9a)
Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also
![{\displaystyle G:H=|H\backslash G|=|G/H|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceda78efd3513866cb85a547d5066123a7581507)
Eine Untergruppe
von
heißt Normalteiler, wenn
für alle
gilt. Ist
ein Normalteiler von
dann wird durch
![{\displaystyle (g_{1}*H)\circledast (g_{2}*H):=(g_{1}*g_{2})*H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cc0eab9b4fd9436593a0bfcdf44cc9850c85df)
eine Verknüpfung auf
definiert, mit der
eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von
modulo
Eine Gruppe
operiert auf sich durch die Konjugation, also
Die Bahnen werden in diesem Zusammenhang als Konjugationsklassen, die Stabilisatoren als Zentralisatoren bezeichnet. Aus der Bahnformel erhält man in diesem Fall die Klassengleichung.
Die Automorphismen
heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen wird mit
bezeichnet.
Eine elegante Anwendung der Klassengleichung lieferte Ernst Witt mit seinem kurzen Beweis (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Endliche Schiefkörper sind kommutativ.“
Ist
eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit
die Gruppe aller Automorphismen von
die
punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf
durch
Jede Bahn besteht aus den in
liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in
das über
irreduzibel ist.
Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über
sie haben dasselbe Minimalpolynom über
Ein
-(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe
auf der eine Gruppe
(von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation
linksverträglich mit
ist, d. h., es gilt
für alle
und alle ![{\displaystyle x,y\in M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2613b791c7269cfaab3a2b3c1bbbd73d146557)
Die Transformationen
mit
bilden dann die Gruppe
der Automorphismen auf
und die Abbildung
ist ein Gruppenisomorphismus.
Ist insbesondere
die skalare Multiplikation eines Vektorraums
über dem Körper
dann operiert die multiplikative Gruppe
auf
Ist allgemeiner
ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe
auf
definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus
![{\displaystyle G\to \operatorname {Aut} X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beff8bdc98dd76a715dde98a69f0a4c925cbf3fd)
dabei ist
die Gruppe der Automorphismen von
im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.
- ↑ Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)).