In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu abelschen Gruppen.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}:=(G_{i},*_{i})_{i\in I))$ eine Familie von Gruppen zu einer Indexmenge ${\displaystyle I}$. Das freie Produkt der Familie,${\displaystyle \mathop {*} _{i\in I}G_{i))$, ist die Menge aller reduzierten endlichen Wörter über dem Alphabet ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}G_{i))$ (disjunkte Vereinigung). Die Elemente haben also die Form ${\displaystyle (i_{1},g_{1})...(i_{k},g_{k})}$, mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ und für alle ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,k\))$, ${\displaystyle i_{j}\in I}$ und ${\displaystyle g_{j}\in G_{i_{j))}$. Ein solches Wort heißt dabei reduziert, wenn

• jedes ${\displaystyle g_{j))$ vom Einheitselement ${\displaystyle 1}$ der jeweiligen Gruppe ${\displaystyle G_{i_{j))}$ verschieden ist, und
• ${\displaystyle i_{j}\neq i_{j+1))$ für alle ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,k-1\))$.

Das leere Wort ist offensichtlich reduziert.

Reduktion eines Wortes

Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann ein beliebiges Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort überführt werden:

• Ist ${\displaystyle (i,g)(i,h)}$ ein Teilwort, ersetze dies durch ${\displaystyle (i,g*_{i}h)}$.
• Streiche alle ${\displaystyle (i,1)}$ aus dem Wort.

Gruppenstruktur

Auf der Menge der reduzierten Wörter ${\displaystyle \mathop {*} _{i\in I}G_{i))$ kann man nun eine Gruppenstruktur definieren.

• Das leere Wort ${\displaystyle \varepsilon }$ ist das neutrale Element.
• Elemente werden multipliziert, indem sie konkateniert werden und anschließend obige Reduktionsregeln angewendet werden, bis dies nicht mehr möglich ist.
• Das Inverse eines Elements ${\displaystyle \alpha }$ entsteht, indem in dem reversen von ${\displaystyle \alpha }$ alle ${\displaystyle (i,g)}$ durch ${\displaystyle (i,g^{-1})}$ ersetzt werden.

Jede Gruppe ${\displaystyle G_{i))$ kann man als Untergruppe in ${\displaystyle \mathop {*} _{i\in I}G_{i))$ ansehen, durch die Identifikation mit dem Bild der Einbettung ${\displaystyle \mathrm {ins} _{i}\colon G_{i}\to \mathop {*} _{i\in I}G_{i))$ mit^[1]

${\displaystyle \mathrm {ins} _{i}(g):={\begin{cases}\varepsilon &g=1\\(i,g)&{\text{sonst.))\end{cases))}$

Universelle Eigenschaft

Setze ${\displaystyle G=\mathop {*} _{i\in I}G_{i))$ und schreibe ${\displaystyle \mathrm {ins} _{i}\colon G_{i}\to G}$ für die einbettende Abbildung.

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft:

Sind ${\displaystyle \varphi _{i}\colon G_{i}\to H}$ Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$, sodass ${\displaystyle \varphi \circ \mathrm {ins} _{i}=\varphi _{i))$

gelten. (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein Koprodukt).

Beispiele

• Die freie Gruppe über einer Menge ${\displaystyle S}$ von Erzeugern ist ${\displaystyle \mathop {*} _{i\in S}\mathbb {Z} }$.
• Sind ${\displaystyle (X,x)}$ und ${\displaystyle (Y,y)}$ punktierte topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. wedge) ${\displaystyle X\vee Y}$ der beiden Räume, das heißt, die beiden Räume an den Punkten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)=\pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}$.

Der Satz von Seifert und van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).

• Allgemeiner gilt: Das freie Produkt freier Gruppen ist wieder eine freie Gruppe, dabei addieren sich die Mächtigkeiten der Erzeugendensysteme.^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}\cong D_{\infty ))$.^[3] Dabei ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2))$ die zyklische Gruppe mit 2 Elementen und ${\displaystyle D_{\infty ))$ die unendliche Diedergruppe.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}\cong \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$.^[4] Die rechte Seite ist dabei die Faktorgruppe aus der speziellen linearen Gruppe mit Koeffizienten aus ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nach ihrem Zentrum.