In dieser Scherung der Mona Lisa wurde das Bild so verformt, dass der rote Pfeil (Vektor) seine Richtung (entlang der vertikalen Achse) nicht geändert hat, der blaue Pfeil jedoch schon. Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist. Da der rote Vektor nicht skaliert wird, ist sein zugehöriger Eigenwert 1.
Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert, wobei man den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung bezeichnet.
Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen[1] und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen, verwendet.
Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich selbst (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.
Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.[2]
In der englischen Literatur existieren eine Vielzahl an weiteren Begriffen für die Eigenwerte, so werden sie auch englischcharacteristic roots, latent roots, characteristic values oder englischproper values genannt.
Ist ein Vektorraum über einem Körper (in Anwendungen meist der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen) und eine lineare Abbildung von in sich selbst (Endomorphismus), so bezeichnet man als Eigenvektor einen Vektor , der durch auf ein Vielfaches von sich selbst mit abgebildet wird:
Den Faktor nennt man dann den zugehörigen Eigenwert.
Anders formuliert: Hat für ein die Gleichung
eine Lösung (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt Eigenwert von Jede Lösung heißt Eigenvektor von zum Eigenwert
Hat der Vektorraum eine endliche Dimension so kann jeder Endomorphismus durch eine quadratische -Matrix beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung
schreiben, wobei hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt in diesem Fall eine Lösung Eigenvektor und Eigenwert der Matrix
Diese Gleichung kann man auch in der Form
schreiben, wobei die Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu
Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch (exakt) berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen.
über , sind die Eigenwerte. Da ein Polynom vom Grad höchstens Nullstellen hat, gibt es auch höchstens Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren, so gibt es genau Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Ist der Grad eine ungerade Zahl und gilt , dann ist mindestens einer der Eigenwerte reell.
Ist ein Eigenwert der linearen Abbildung , dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor den Eigenraum zum Eigenwert . Der Eigenraum ist durch
definiert. Falls die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert ausgeartet (früher auch entartet).[3] Die Dimension des Eigenraums wird als geometrische Vielfachheit von bezeichnet.
Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum.
Für den Rest dieses Abschnittes sei Dann besitzt jede genau Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt. Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten Dabei ist und
Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit werden als einfacher Eigenwert bezeichnet.
Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und geschrieben, sodass also
gilt. Als Spektralradius bezeichnet man den Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts.
Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.
Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.
Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie
Für einen Eigenwert lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung
bestimmen. Die Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert der geometrischen Vielfachheit lassen sich also linear unabhängige Eigenvektoren finden, sodass die Menge aller Eigenvektoren zu gleich der Menge der Linearkombinationen von ist. Die Menge heißt dann eine Basis aus Eigenvektoren des zum Eigenwert gehörenden Eigenraumes.
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.
Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.
Gegeben ist wie in obigem Beispiel die quadratische Matrix
Die Eigenwerte wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (und der durch die Eigenvektoren aufgespannte Eigenraum) zum Eigenwert berechnet:
Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:
Bringt man die Matrix auf obere Dreiecksform, so erhält man:
Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist).
Obwohl der Eigenwert eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert ist eindimensional); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man kann nun versuchen, die Matrix stattdessen in die Jordansche Normalform überzuführen. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren.
Für den Eigenwert geht man genauso vor:
Wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform:
Hier ist die Lösung der Vektor wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen.
Jede quadratische Matrix über dem Körper der komplexen Zahlen ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix Die Eigenwerte von sind genau die Diagonaleinträge der Matrix
Eigenvektoren zum Eigenwert sind Fixpunkte in der Abbildungsgeometrie. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist die Drehung eines Balls: Da sich der Radius des Balls hierbei nicht verändert, ist der Eigenwert der Drehung und die Drehachse ist ein Eigenvektor mit zwei Fixpunkten auf der Balloberfläche. Nach dem Satz vom Fußball gibt es somit zwei Punkte auf einem Fußball, die sich vor dem Anstoß zur ersten und zur zweiten Halbzeit am jeweils gleichen Punkt des Raumes befinden.
Alle Eigenwerte sind stets reell. Im Rahmen der Hauptachsentransformation werden die Eigenwerte auch Hauptwerte genannt.[4] Ist die Matrix zudem positiv definit, so sind auch ihre Eigenwerte echt positiv.
Es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren angeben.[5] Dies ist eine direkte Folgerung aus dem Spektralsatz. Insbesondere sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten zueinander orthogonal.
Über den Rayleigh-Quotient lässt sich zu jedem Eigenvektor der zugehörige Eigenwert ermitteln. Mit dem Satz von Courant-Fischer lässt sich jeder Eigenwert als minimaler beziehungsweise maximaler Rayleigh-Quotient darstellen.
Für das Betragsquadrat der Komponenten der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren der Matrix gilt mit deren Eigenwerten und den Eigenwerten der Hauptuntermatrizen von :[6]
Für kommutierende diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrizen ist es möglich, ein System gemeinsamer Eigenvektoren zu finden:
Kommutieren zwei Matrizen und (gilt also ) und ist ein nichtentarteter Eigenwert (d. h., der zugehörige Eigenraum ist eindimensional) von mit Eigenvektor so gilt
Auch ist also ein Eigenvektor von zum Eigenwert Da dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss ein Vielfaches von sein. Das bedeutet, dass auch ein Eigenvektor der Matrix ist.
Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass die Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind.
Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden.[7] Aus diesem Grund können mehrere paarweise kommutierende diagonalisierbare Matrizen auch simultan (d. h. mit einer Basistransformation für alle Matrizen) diagonalisiert werden.
Linkseigenvektoren und verallgemeinertes Eigenwertproblem
Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch als Rechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff des Linkseigenvektors durch die Gleichung
Wegen sind die Linkseigenvektoren von gerade die Rechtseigenvektoren der adjungierten Matrix
Bei normalen Matrizen fallen Links- und Rechtseigenvektoren zusammen.
Allgemeiner kann man auch quadratische Matrizen und und die Gleichung
In der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearen Funktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen). Meistens spricht man von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei ein Vektorraum über einem Körper mit und ein linearer Operator. In der Funktionalanalysis ordnet man ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen für die der Operator nicht invertierbar ist. Dieses Spektrum muss jedoch nicht – wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen – diskret sein. Denn im Gegensatz zu den linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, die nur verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum. Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Elemente, die die Gleichung für ein lösen, nennt man wie in der linearen Algebra Eigenwerte. Die Gesamtheit der Eigenwerte nennt man das Punktspektrum von Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen.
das Beulversagen (eine Art des Materialversagens durch unzureichende Steifigkeit) eines leeren Rohres unter Außendruck,
die Hauptkomponenten einer Punktmenge (z. B. zur Kompression von Bildern oder zur Bestimmung von Faktoren in der Psychologie: Hauptkomponentenanalyse),
die Hauptspannungen in der Festigkeitslehre (Umrechnung der Spannungen in ein Koordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt),
die Hauptträgheitsachsen eines asymmetrischen Querschnitts (um einen Balken – Träger oder Ähnliches – in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen),
vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils spezifisch definierten Stabilität eines Systems zu tun haben,
den PageRank einer Homepage als Eigenvektor der Google-Matrix, dort gewertet als ein Maß für die relative Wichtigkeit einer Homepage im Internet,
die Drehachse und damit die Fixpunkte, von denen der Satz vom Fußball spricht.
die Eigengesichter in der automatisierten Gesichtserkennung.
das Spektrum eines Graphens (Spektrale Graphentheorie)
Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle. Physikalische Größen wie z. B. der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z. B. der Hamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann die Energie nur diskrete Werte annehmen, was z. B. für die Energieniveaus in einem Atom typisch ist. So stellen bei den Lösungen der bekannten Schrödingergleichung (im Jahr 1926 durch den Physiker Erwin Schrödinger aufgestellt) die Eigenwerte die erlaubten Energiewerte der Elektronen und die Eigenfunktionen die zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar.
Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. B. von Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert.
↑FAQL.de, abgerufen am 10. Juni 2013, zitiert David Hilberts Artikel Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, veröffentlicht 1904 in den Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse.
↑
Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S.121.
↑Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus: Moderne mathematische Methoden der Physik. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-05184-5, S.87 (google.com [abgerufen am 29. Februar 2012]).
↑P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (englisch).
↑A. W. Joshi: Matrices and tensors in physics. New Age International, 1995, ISBN 978-81-224-0563-7, S.117 (google.com [abgerufen am 29. Februar 2012]).