Die vier ursprünglichen Bandmitglieder Marie Kobylka, Christoph Werner, Kilian Reischl und Robin Karow musizierten bereits seit 2009 gemeinsam.[2] Von Anfang an komponierten und texteten sie selbst und produzierten ihre Musik und ihre Videos in eigener Regie in ihrem Studio in Unterföhring bei München. In diesen ersten Jahren gab es weder Veröffentlichungen noch größere Auftritte. Die Band wuchs in dieser Zeit zusammen und entwickelte ihren eigenen Stil, bei dem auch Synthesizer eine wichtige Rolle spielten.[3]
Nachdem sich die Band 2013 unter dem Namen „Cosby“ gegründet hatte,[4] ging sie 2014 an die Öffentlichkeit, schloss einen Vertrag mit Warner/Chappell Music ab[5] und gründete ihr eigenes Label Just Push Play.[6] Einer der ersten veröffentlichten Titel diente als Untermalung eines TV-Werbespots[7] von mexx. Der ersten EP folgten zahlreiche Auftritte sowie Radio- und TV-Livesessions. 2015 nahm Cosby an der 18. Staffel des Musikmagazins Startrampe teil.[8] Der Bayerische Rundfunk widmete der Band mehrere halbstündige Fernsehsendungen und das Fernsehen des Saarländischen Rundfunks sendete einen 30-minütigen Konzertauftritt. Im Hörfunk gab es zahlreiche Präsentationen und Interviews mit Cosby, beispielsweise bei Radio Eins[9] und im NDR.[10]
Im August 2015 veröffentlichte die Band ihr erstes StudioalbumAs Fast As We Can. Zu zahlreichen Songs gibt es in Eigenproduktion hergestellte Musikvideos.[15] Im Herbst 2015 war Cosby als Support-Band mit dem US-Amerikaner Mikky Ekko unterwegs.
2018 sponsorte und installierte die Band eine Solaranlage auf einer Schule der abc-Gesellschaft e.V. in Mpemba, Malawi. Sie drehten eine Dokumentation über die Schule sowie das Musikvideo zu ihrer Single Milestone (2018).
Der Song Follow the Leader war Titelsong der 13. Staffel von Big Brother (2020).[16] Der in diesem Song zu hörende Kinderchor stammt aus Malawi.
Im Sommer 2021 verließ Christoph Werner die Band. An seine Stelle trat David Bücherl, Schlagzeuger und langjähriger Freund der anderen Bandmitglieder. Wenig später nahm Cosby die Arbeit an ihrem vierten Studio-Album auf.
Cosby schrieb von Beginn an alle Texte auf Englisch. Die Band ist stilistisch klar dem Pop zuzuordnen, zeigte über die Jahre viele Einflüsse aus Elektropop, Indie-Pop und Rock. Zum Portfolio gehören Balladen ebenso wie leichte tanzbare Titel. Trotz ihrer sehr unterschiedlichen Charakteristik haben die Lieder von Cosby aufgrund des besonderen Stils der Band und der facettenreichen Stimme ihrer Sängerin einen hohen Wiedererkennungswert.
↑Cosby – Was die Plattenfirma sagt, was die Presse meint und was Fritz weiß. In: Fritz. 2. August 2015, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 17. November 2015; abgerufen am 13. November 2015.Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.fritz.de
↑Rita Argauer: Cosby (Elektro-Pop). In: sueddeutsche.de. 21. Juli 2014, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 17. November 2015; abgerufen am 12. November 2015.Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/jungeleute.sueddeutsche.de
↑Cosby – Zu Gast im radioeins Studio. (Memento des Originals vom 17. November 2015 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.radioeins.de Radio Eins, August 2015.
↑Die Nominierten 2015 — Deutscher Musikautorenpreis. In: musikautorenpreis.de. 2. April 2015, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 19. Juni 2016; abgerufen am 19. Juni 2016.Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.gema.de
↑Der egoFM Hörerpreis: Die Gewinner. In: egofm.de. 2. September 2015, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 17. November 2015; abgerufen am 16. November 2015.Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.egofm.de
↑Live – Das Rathaus-Clubbing. In: 18jetzt.de. Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 17. November 2015; abgerufen am 16. November 2015.Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/18jetzt.de Prunkhof des Münchner Rathauses