so nennt man stabil verteilt, wobei als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist.
Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl ist. Die reelle Zahl nennt man hierbei den Formparameter.
Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.
Beispiele
Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:
gegeben[1][2] Der Parameter heißt charakteristischer Exponent. Der Parameter heißt Schiefeparameter. Der Parameter ist positiv. Der Parameter ist ein Lageparameter.
Endliche Varianz existiert nur für . Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz. Für spezialisiert sich die charakteristische Funktion zu ; dies ist charakteristische Funktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert und der Varianz .
Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).
Analoge Konzepte für diskrete Verteilungen
Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung[3][4], ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung, welche bei diskret-stabilen Verteilungen einen ähnlichen Stellenwert einnimmt, wie die Normalverteilung bei Lévy-stabilen kontinuierlichen Dichten[5].
Literatur
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.
Einzelnachweise
↑Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band33). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-60931-8, Theorem 2.2.3, S. 71, doi:10.1007/978-3-642-33483-2.
↑Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.
↑Luc Devroye: A triptych of discrete distributions related to the stable law. In: Statistics and Probability Letters. Band18, Nr.5, S.349–351, doi:10.1016/0167-7152(93)90027-G.